Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且（3-m）S_n+2ma_n="m+3" （n∈N^*），其中m為常數，且m≠-3,m≠0.
（1）求證：{a_n}是等比數列；
（2）若數列{a_n}的公比q=f(m),數列{b_n}滿足b₁=a₁,b_n=f(b_n-1) (n∈N,n≥2),求證：為等差數列，并求b_n.

Answer 1

（1）證明見解析（2）證明見解析

證明 （1）由(3-m)S_n+2ma_n=m+3,
得(3-m)S_n+1+2ma_n+1=m+3,
兩式相減，得（3+m）a_n+1=2ma_n,m≠-3,
∴=≠0 (n≥1).∴{a_n}是等比數列.
（2）由(3-m)S₁+2ma₁=m+3,解出a₁=1,∴b₁=1.
q="f(m)=" ,n∈N且n≥2時，
b_n=f(b_n-1)= ·，
b_nb_n-1+3b_n=3b_n-1，推出-=.
∴是以1為首項、為公差的等差數列.
∴=1+=.∴b_n=.