Question

【題目】已知數列中，函數．

（1）若正項數列滿足，試求出， ， ，由此歸納出通項，并加以證明；

（2）若正項數列滿足（n∈N*），數列的前項和為Tn，且，求證： ．

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）證明詳見解析.

【解析】試題（1）由遞推公式依次可求得，用數學歸納法的要求證明即可；也可把遞推公式變形為，則數列是等比數列；（2）要與（1）進行聯系，首選函數，因此在上是增函數，可妨（1）進行歸納， ， ， ，…，也可把變形為，由累乘法得： ，從而得，即，最終有

，這樣可用裂項相消法求出（放縮后），證得結論．

試題解析：（1）依題意，， ，

，由此歸納得出： ；

證明如下：

∵，∴，∴，

∴數列是以1為首項、為公比的等比數列，

∴，∴；

（2）∵（n∈N*），∴，∴，

累乘得： ，∴，即，∴，

∵，

∴ ．