Question

【題目】已知f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=4x﹣x2 ， 若函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，4]上的值域為[﹣4，4]，則實數(shù)t的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】[﹣2﹣2 ,﹣2]
【解析】解：如x＜0，則﹣x＞0，

∵當x＞0時，f（x）=4x﹣x2，

∴當﹣x＞0時，f（﹣x）=﹣4x+x2，

∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，

∴f（0）=0，且f（﹣x）=﹣4x+x2=﹣f（x），

則f（x）=4x+x2，x＜0，

則函數(shù)f（x）= ，

則當x＞0，f（x）=4x﹣x2=﹣（x﹣2）2+4≤4，

當x＜0，f（x）=4x+x2=（x+2）2﹣4≥﹣4，

當x＜0時，由4x+x2=4，即x2+4x﹣4=0得x= =﹣2﹣2 ，（正值舍掉），

若函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，4]上的值域為[﹣4，4]，

則﹣2﹣2 ≤t≤﹣2，

即實數(shù)t的取值范圍是[﹣2﹣2 ，﹣2]，

所以答案是：[﹣2﹣2 ，﹣2]

【考點精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，需要了解在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能得出正確答案．