Question

若無窮數列滿足：①對任意，；②存在常數，對任意，，則稱數列為“數列”.
（Ⅰ）若數列的通項為，證明：數列為“數列”；
（Ⅱ）若數列的各項均為正整數，且數列為“數列”，證明：對任意，；
（Ⅲ）若數列的各項均為正整數，且數列為“數列”，證明：存在，數列為等差數列.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析

解析試題分析：（Ⅰ）用作差法證，用單調性證。（Ⅱ）用反證法證明。即假設存在正整數，使得。根據和結合放縮法推倒論證得出與已知各項均為正整數相矛盾，則說明假設不成立即原命題成立。（Ⅲ）由（Ⅱ）知，需分和兩種情況討論，結合已知推理論證，根據等差的定義可證得存在 ，數列為等差數列.本題的關鍵是當可變形得，再用累加法表示，即，根據進行推理論證。
試題解析：（Ⅰ）證明：由，可得，，
所以，
所以對任意，．
又數列為遞減數列，所以對任意，．
所以數列為“數列”．             5分
（Ⅱ）證明：假設存在正整數，使得．
由數列的各項均為正整數，可得．
由，可得．
且．
同理，
依此類推，可得，對任意，有．
因為為正整數，設，則.
在中，設，則．
與數列的各項均為正整數矛盾．
所以，對任意，.             10分
（Ⅲ）因為數列為“數列”，
所以，存在常數，對任意，．
設．
由（Ⅱ）可知，對任意，，
則．
若，則；若，則．
而時，有．
所以，，，，中最多有個大于或等于，
否則與矛盾．
所以，存在，對任意的，有