Question

在直角坐標系中，已知B（2，0），C（2，1），D（0，1），若P在△BCD內部和邊界上運動，

OP

=α

OB

+β

OD

（α，β都是實數），則2α-β的取值范圍是（　　）

• A、[-1，2]
• B、[-1，3]
• C、[-2，3]
• D、[0，2]

Answer 1

考點：簡單線性規劃

專題：不等式的解法及應用,平面向量及應用

分析：由已知條件得到P所滿足的約束條件，由

OP

=α

OB

+β

OD

得到

x=2α y=β

，代入約束條件得到

0≤α≤1 0≤β≤1 α+β≥1

，然后利用線性規劃知識求解．

解答： 解：由題意可知，點P（x，y）的約束條件為

0≤x≤2 0≤y≤1 1 2 x+y≥1

，

OP

=(x，y)，

OB

=(2，0)，

OD

=(0，1)，
由

OP

=α

OB

+β

OD

，得（x，y）=α（2，0）+β（0，1），得

x=2α y=β

，
代入約束條件得

0≤α≤1 0≤β≤1 α+β≥1

，作可行域如圖，

令t=2α-β，
當直線t=2α-β通過M（1，0）時目標函數求得最大值為2；
當直線t=2α-β通過N（0，1）時目標函數求得最小值為-1．
從而2α-β的取值范圍為[-1，2]．
故選：A．

點評：本題考查了線性規劃，考查了數學轉化思想方法和數形結合的解題思想方法，是中檔題．