Question

【題目】設函數， .

（1）若函數在上單調遞增，求的取值范圍；

（2）設，點是曲線與的一個交點，且這兩曲線在點處的切線互相垂直，證明：存在唯一的實數滿足題意，且.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析。;

【解析】【試題分析】（1）求導后令導數大于或等于零，然后分離參數，利用恒成立可求得的取值范圍.（2）將兩條切線相互垂直轉化為在點的導數乘積為，結合切點坐標可求得切點橫坐標所滿足的一個等式，通過分類討論可得存在唯一實數滿足題意.

【試題解析】

（1）解：由題意知，所以，

由題意， ，即對恒成立，

又當時， ，所以.

（2）證明：因為， ,

所以，即.①

又點是曲線與的一個交點，所以.②

由①②消去，得.

（ⅰ）當時，因為.所以，且，此與②式矛盾.

所以在上沒有適合題意.

（ⅱ）當時，設， .

則，即函數在上單調遞增，

所以函數在上至多有一個零點.

因為， ，

且的圖象在上不間斷，所以函數在有唯一零點.

即只有唯一的，使得成立，且.

綜上所述，存在唯一的,且.