Question

某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮．現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同)，設第n個圖形包含f(n)個小正方形．

(1)求出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關系式，并根據你得到的關系式求出f(n)的表達式；
(3)求＋＋＋…＋的值．

Answer 1

（1）41
（2）f(n)＝2n²－2n＋1.
（3）－.

解：(1)f(5)＝41.
(2)因為f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
……
由上式規律得出f(n＋1)－f(n)＝4n，
∴f(n)＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n²－2n＋1(n≥2)．
又n＝1滿足上式，
所以f(n)＝2n²－2n＋1.
(3)當n≥2時，
＝＝ (－)，
∴＋＋＋…＋
＝1＋ (1－＋－＋－＋…＋－)
＝1＋ (1－)
＝－.