Question

【題目】已知：函數且.

（1）求定義域；

（2）判斷的奇偶性，并說明理由；

（3）求使的的解集．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是奇函數；（3）.

【解析】試題分析：（1）利用對數函數的指數大于零，列出不等式組，解不等式組即可求解函數的定義域．（2）利用對數的運算法則可得,結合函數的定義域關于原點對稱，可得為奇函數．（3）利用對數函數的單調性與定義域化簡不等式即可求解不等式．

試題解析：（1）由題意得 ，即﹣2＜x＜2．∴f（x）的定義域為（﹣2，2）；

（2）∵對任意的x∈（﹣2，2），﹣x∈（﹣2，2）

f（﹣x）=loga（2﹣x）﹣loga（2+x）=﹣f（x），

∴f（x）=loga（2+x）﹣loga（2﹣x）是奇函數；

（3）f（x）=loga（2+x）﹣loga（2﹣x）＞0，即log2（2+x）＞loga（2﹣x），

∴當a∈（0，1）時，可得2+x＜2﹣x，即﹣2＜x＜0．

當a∈（1，+∞）時，可得2+x＞2﹣x，即x∈（0，2）.