Question

（2013•閘北區二模）在xOy平面上有一系列的點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，對于所有正整數n，點P_n位于函數y=x²（x≥0）的圖象上，以點P_n為圓心的⊙P_n與x軸相切，且⊙P_n與⊙P_n+1又彼此外切，若x₁=1，且x_n+1＜x_n．則

lim

n→∞

nxn=（　　）

A．0

B．0.2

C．0.5

D．1

Answer 1

分析：由圓Pn與P（n+1）相切，且P（n+1）與x軸相切可知R_n=y_n，R_（n+1）=y_（n+1），且兩圓心間的距離就等于兩半徑之和進而得到

(xn-xn+1)2+(yn-yn+1)2

=整理可得，

1

xn+1

-

1

xn

=2，結合等差數列的通項公式可求x_n，進而可求極限

解答：解：∵圓Pn與P（n+1）相切，且P（n+1）與x軸相切，
所以，R_n=y_n，R_（n+1）=y_（n+1），且兩圓心間的距離就等于兩半徑之和，
即

(xn-xn+1)2+(yn-yn+1)2

=y_n+y_n+1
整理可得，

1

xn+1

-

1

xn

=2
∴

1

xn

=1+2(n-1)=2n-1
∴nxn=

n

2n-1

lim

n→∞

nxn=

lim

n→∞

n

2n-1

=

1

2

故選C

點評：本題主要考查了數列在實際中的應用，解題的關鍵是尋求相切的性質．