Question

已知橢圓

x2

4

+y²=1，求：點M（x，y）到直線l：x+2y=4的距離的最值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設和直線l：x+2y=4平行且與橢圓

x2

4

+y²=1相切的直線方程x+2y+m=0，聯立直線和橢圓方程，由判別式等于0求得m的值，然后利用平行線間的距離公式得答案．

解答： 解：設和直線l：x+2y=4平行且與橢圓

x2

4

+y²=1相切的直線方程為x+2y+m=0，
聯立

x+2y+m=0 x2 4 +y2=1

，得2x²+2mx+m²-4=0，
由△=4m²-8（m²-4）=32-8m²=0，得m=±2．
∴和直線l：x+2y=4平行且與橢圓

x2

4

+y²=1相切的直線方程為x+2y-2=0或x+2y+2=0．
由平行線間的距離公式得直線x+2y-4=0與直線x+2y-2=0的距離為

|-4+2|

5

=

2 5

5

，
直線x+2y-4=0與直線x+2y+2=0的距離為

|-4-2|

5

=

6 5

5

．
∴橢圓上的點M（x，y）到直線l：x+2y=4的距離的最小值為

2 5

5

，最大值為

6 5

5

．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了平行線間的距離，是基礎題．