Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過點M(1，

2

2

)，其離心率為

2

2

，設直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l與圓x²+y²=

2

3

相切，求證：OA⊥OB（O為坐標原點）；
（Ⅲ）以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，若點Q在橢圓C上，且滿足

OP

=λ

OQ

（O為坐標原點），求實數λ的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：對第（1）問，由離心率及a²=b²+c²，得a與b的關系式，再將點M的坐標代入橢圓方程中，求解關于a，b的二元二次方程組，即得a²，b²，從而得橢圓的標準方程．
對第（Ⅱ）問，根據圓心到直線的距離等于圓的半徑，得k與m的等量關系，要證明OA⊥OB，只需證明

OA

•

OB

=0即可，從而將數量積轉化為坐標運算，聯立直線l與橢圓方程，利用韋達定理消去坐標，得到關于k，m的代數式，再利用前面k與m的等量關系即可達到目的．
對第（Ⅲ）問，當m=0時，容易驗證不合題意．
當m≠0時，設點Q（x₀，y₀），將

OP

=λ

OQ

坐標化，得到x₀，y₀的表達式，代入橢圓方程中，得λ與m的等量關系，再由第（Ⅱ）問中k與m的等量關系，得不等關系，又由△＞0，得λ與m的不等關系，聯立兩不等關系式可得m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵離心率e=

c

a

=

2

2

，a2=b2+c2，
∴a²=2b²，從而橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
將點M(1，

2

2

)的坐標代入上式，得b²=1，a²=2，
∴橢圓C方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）因為直線l與圓x2+y2=

2

3

相切，所以

|m|

1+k2

=

6

3

，即3m²-2k²-2=0．
由

y=kx+m x2+2y2=2

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

，
從而y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

m2-2k2

1+2k2

，
所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

2m2-2

1+2k2

+

m2-2k2

1+2k2

=

3m2-2k2-2

1+2k2

=0，
故OA⊥OB．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得y1+y2=k(x1+x2)+2m=

2m

1+2k2

，
由向量加法的平行四邊形法則，得

OA

+

OB

=

OP

，
∵

OP

=λ

OQ

，∴

OA

+

OB

=λ

OQ

，
（i）當m=0時，直線l：y=kx+m過原點，點A與B關于原點對稱，不合題意．
（ii）當m≠0時，點A，B不關于原點對稱，則λ≠0，
設Q（x₀，y₀），則（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=λ（x₀，y₀），
得

x0= 1 λ (x1+x2) y0= 1 λ (y1+y2)

，從而

x0= -4km λ(1+2k2) y0= 2m λ(1+2k2)

．
∵點Q在橢圓上，將Q的坐標代入橢圓方程中，得[

-4km

λ(1+2k2)

]2+2[

2m

λ(1+2k2)

]2=2，
化簡得4m²=λ²（1+2k²）．…①
又△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=8（1+2k²-m²），由△＞0，得1+2k²＞m²．…②
由①、②得4m²＞λ²m²，∵m≠0，∴0＜λ²＜4．…④
因此，實數λ的取值范圍是-2＜λ＜0，或0＜λ＜2．

點評：1．本題考查了橢圓標準的求法，直線與圓的相切關系，直線與橢圓相交的綜合問題等，關鍵是熟練運用各種常見的轉換關系，如
（1）OA⊥OB?

OA

⊥

OB

?

OA

•

OB

=0?x₁x₂+y₁y₂=0．
（2）直線與圓相切問題的轉化：
①圓心到直線的距離等于圓的半徑；
②聯立直線與圓的方程，消去x或y，得到一個關于y或x的一元二次方程，此時△=0．
2．求橢圓方程時，應設法建立關于a，b的兩個方程，再解方程組．
3．對于向量與圓錐曲線的綜合問題，既要聯想到向量的幾何特征，又要想到其代數特征．
4．對于參數范圍的求解，常通過判別式△，橢圓的范圍，離心率或等式本身的隱含條件中尋找不等關系．