Question

（本小題滿分16分）如圖，在直角坐標系中，三點在軸上，原點和點分別是線段和的中點，已知（為常數），平面上的點滿。

（1）試求點的軌跡的方程；
（2）若點在曲線上，求證：點一定在某圓上；
（3）過點作直線，與圓相交于兩點，若點恰好是線段的中點，試求直線的方程。

Answer 1

⑴由題意可得點的軌跡是以為焦點的橢圓． ……………………（2分）
且半焦距長，長半軸長，則的方程為．………（5分）
⑵若點在曲線上，則．設，，則，．…………………………………………………………………………（7分）
代入，得，所以點一定在某一圓上．
………………………………（10分）
⑶由題意．………………………………………………………………（11分）
設，則．┈┈┈①
因為點恰好是線段的中點，所以．代入的方程得．┈┈┈②
聯立①②，解得，．…………………………………………………（15分）
故直線有且只有一條，方程為．……………………………………………（16分）
（若只寫出直線方程，不說明理由，給1分）

略