Question

.（本小題滿分12分）
已知點，動點滿足條件.記動點的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）若是上的不同兩點，是坐標原點，求的最小值.

Answer 1

解：（1）依題意，點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，所求方程為：
 （x>0）                                          …4分      
⑴當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y＝kx＋b，代入雙曲線方程中，得：（1－k²）x²－2kbx－b²－2＝0……………………1°                   …6分
依題意可知方程1°有兩個不相等的正數根，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

解得|k|>1                                                          …8分
又＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋（kx₁＋b）（kx₂＋b）＝（1＋k²）x₁x₂＋kb（x₁＋x₂）＋b²＝>2                                             …10分
⑵ 當直線AB的斜率不存在時，設直線AB的方程為x＝x₀，此時A（x₀，），
B（x₀，－），＝2                                      …11分
綜上可知的最小值為2                                         …12分

略