Question

【題目】已知．

（Ⅰ）當時，判斷在定義域上的單調性；

（Ⅱ）若在上的最小值為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增函數

（2）a＝－.

【解析】

試題分析：（1）利用導數判定函數單調性：先求導數f ′（x）＝＋＝.因為定義域為（0,＋∞），a>0 所以f ′（x）>0，故f（x）在（0,＋∞）上是單調遞增函數.（2）先分類確定f（x）在[1,e]上的最小值：①若a≥－1，f ′（x）≥0，f（x）在[1,e]上為增函數，f（x）min＝f（1）＝－a＝，∴a＝－（舍去）.若a≤－e，f ′（x）≤0， f（x）在[1,e]上為減函數，f（x）min＝f（e）＝1－＝，∴a＝－（舍去）.若－e<a<－1，令f ′（x）＝0，得x＝－a. f（x）min＝f（－a）＝ln（－a）＋1＝a＝－.

試題解析：解：（1）由題得f（x）的定義域為（0,＋∞），且 f ′（x）＝＋＝.

∵a>0，∴f ′（x）>0，故f（x）在（0,＋∞）上是單調遞增函數. 3’

（2）由（1）可知：f ′（x）＝，

①若a≥－1，則x＋a≥0，即f ′（x）≥0在[1,e]上恒成立，此時f（x）在[1,e]上為增函數，

∴f（x）min＝f（1）＝－a＝，∴a＝－（舍去）.

②若a≤－e，則x＋a≤0，即f ′（x）≤0在[1,e]上恒成立，此時f（x）在[1,e]上為減函數，

∴f（x）min＝f（e）＝1－＝，∴a＝－（舍去）.

③若－e<a<－1，令f′（x）＝0，得x＝－a.

當1<x<－a時，f ′（x）<0，∴f（x）在（1,－a）上為減函數；

當－a<x<e時，f ′（x）>0，∴f（x）在（－a,e）上為增函數，

∴f（x）min＝f（－a）＝ln（－a）＋1＝a＝－.

綜上可知：a＝－. 12’