Question

已知集合A={（x，y）||x|+|y|=4，x，y∈R}，B={（x，y）|x²+y²=r²，x，y∈R}，若A∩B中的元素所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)恰好是一個(gè)正八邊形的八個(gè)頂點(diǎn)，則正數(shù)r的值為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，分析A可得，其表示由x+y=1，x+y=-1，x-y=1，x-y=-1圍成的正方形，而B表示一個(gè)圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓，若A∩B中的元素所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)即兩個(gè)圖象的交點(diǎn)恰好是一個(gè)正八邊形的八個(gè)頂點(diǎn)，作出圖形，求解可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，對(duì)于A，
x≥0，y≥0時(shí)，有x+y=1，
x≥0，y＜0時(shí)，有x-y=1，
x＜0，y≥0時(shí)，有x-y=-1，
x＜0，y＜0時(shí)，有x+y=-1，
故A表示由x+y=1，x+y=-1，x-y=1，x-y=-1圍成的正方形，
而B表示一個(gè)圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓，
若A∩B中的元素所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)恰好是一個(gè)正八邊形的八個(gè)頂點(diǎn)，如圖，
則OA=r，OD=4，
易得OB=2

2

，
∠BOA=

π

8

，
有r=

2 2

cos π 8

．
故答案為r=

2 2

cos π 8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的意義，以及交集的意義，解題時(shí)要結(jié)合圖形，分析線段長度間的關(guān)系．