Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的四個頂點圍成的四邊形面積為，圓經(jīng)過橢圓的短軸端點．

求橢圓的方程；

過橢圓的右焦點作互相垂直的兩條直線分別與橢圓相交于，和，四點，求四邊形面積的最小值．

Answer 1

【答案】；.

【解析】

根據(jù)題意求出，因為圓經(jīng)過橢圓的兩個短軸端點，則，所以，列出橢圓的方程；

對直線的斜率情況討論，當(dāng)斜率不存在或為時，四邊形，當(dāng)直線的斜率存在時，，，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出四邊形面積的最小值.

解：根據(jù)題意，四個頂點圍成的四邊形為菱形，其面積為，，

因為圓經(jīng)過橢圓的兩個短軸端點，則，

所以，，

故橢圓的方程為．

當(dāng)直線的斜率存在且不為零時，設(shè)直線的方程為，

由消去得，

，．

同理得，．

令，則．

當(dāng)直線的斜率不存在時，，

當(dāng)直線的斜率為零時，，，

.

，四邊形面積的最小值為．