Question

已知函數f（x）=x²-2mx+1．
（1）m=2時，求f（x）在?x∈[0，1]上的最大值；
（2）若x²-2mx+1＞0對?x∈[0，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）通過m=2，化簡平方f（x）的表達式，利用函數的單調性求解在?x∈[0，1]上的最大值；
（2）x²-2mx+1＞0對?x∈[0，1]恒成立，轉化為，m在一側的不等式，通過基本不等式求出另一側的最值，即可求實數m的取值范圍．

解答： 解：（1）m=2時，f（x）=（x-2）²-3，在?x[0，1]上單調遞減，
f_max（x）=f（0）=1；
（2）原不等式等價于2mx＜x²+1，當x=0時，不等式顯然成立，
當0＜x≤1時，原不等式等價于m＜

x2+1

2x

，

x2+1

2x

=

1

2

(x+

1

x

)≥

1

2

×2

x• 1 x

=1，
當且僅當x=1時取等號，∴當x=1時，

x2+1

2x

取最小值1，∴m＜1
綜上，所求m的取值范圍為（-∞，1）．

點評：本題考查函數的恒成立問題的應用，二次函數的單調性，基本不等式的應用，考查計算能力以及轉化思想．