Question

【題目】如圖正方體的棱長為，、、，分別為、、的中點.則下列命題：①直線與平面平行；②直線與直線垂直；③平面截正方體所得的截面面積為；④點與點到平面的距離相等；⑤平面截正方體所得兩個幾何體的體積比為.其中正確命題的序號為_______.

Answer 1

【答案】①③⑤

【解析】

連結,由、分別為、的中點,則∥,所以四點共面,截面圖形為等腰梯形，然后對各個命題進行逐一判斷.

連結,由、分別為、的中點.

則∥,又∥，所以∥且=.

所以截面四邊形形為等腰梯形.

對①, 、，分別為、的中點,

所以∥,且=，則四邊形為平行四邊形,

所以∥,所以∥平面，故①正確.

對②, ∥,在中，,

顯然與不垂直，則直線與直線不垂直，故②不正確.

對③, 平面截正方體所得的截面為四邊形,

又四邊形為等腰梯形,其中,,

梯形的高為,

則其面積為.故③正確.

對④，點是的中點，所以到面的距離相等.

、分別為、的中點,延長交的延長線于點,

即直線交平面于點,則為的中點,如圖,

分別過作平面的垂線，垂足分為，

所以分別為點到面的距離,則三點共線，

根據三角形的相似可得:,所以到面的距離不相等，

則點與點到平面的距離不相等,故④不正確.

對⑤, 由條件可知多面體為棱臺，

其體積為,

平面截正方體所得兩個幾何體的體積比為,故⑤正確.

故答案為：①③⑤.