Question

用數學歸納法證明，對任意x＞0及正整數n，有xⁿ+x^n-2+…+

1

xn-2

+

1

xn

≥n+1．

Answer 1

考點：數學歸納法

專題：證明題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：驗證n=1，2時，結論成立；假設當n=k時，不等式成立，證明n=k+2時，不等式成立即可．

解答： 證明：1°當n=1時，x＞0，原不等式左邊=x+

1

x

≥2，右邊=2，
所以左邊≥右邊，原不等式成立；
當n=2時，x＞0，原不等式左邊=x²+1+

1

x2

≥2+1，右邊=3，
所以左邊≥右邊，原不等式成立；
2°假設當n=k時，不等式成立，即x^k+x^k-2+…+

1

xk-2

+

1

xk

≥k+1，
則當n=k+2時，左邊=x^k+2+x^k+…+

1

xk-2

+

1

xk

+

1

xk+2

≥k+1+（x^k+2+

1

xk+2

）≥k+1+2=（k+2）+1，
∴n=k+2時，原不等式成立；
由1°、2°，可得對任意x＞0及正整數n，有xⁿ+x^n-2+…+

1

xn-2

+

1

xn

≥n+1．

點評：數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．