Question

【題目】已知,函數.

(Ⅰ)若有極小值且極小值為0 ,求的值；

(Ⅱ)當時，, 求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】試題分析：（1）先求導數，再根據a的正負討論導函數零點情況，當時只有一個零點，且為極小值，再根據極小值為0 ,求的值；當時討論兩個零點大小，先確定極小值取法，再根據極小值為0 ,求的值；（2）先化簡不等式為，再對時，變量分離，轉化為討論對應函數最值問題最小值，先根據與同號得>0，再根據放縮證明最小值恒大于零且趨于零，綜合可得的取值范圍.

試題解析：(Ⅰ).

①若，則由解得,

當時，遞減；當上，遞增；

故當時，取極小值，令,得（舍去）.

②若，則由，解得.

(i)若，即時，當，.遞增；當上，遞減；當上，遞增.

故當時，取極小值，令，得（舍去）

（ii）若，即時，遞增不存在極值；

(iii)若，即時，當上，遞增；，上，遞減；當上，遞增.

故當時，取極小值,得滿足條件.

故當 有極小值且極小值為0時,

(Ⅱ)方法一：等價于,

即，即 ①

當時，①式恒成立；以下求當時不等式恒成立,且當時不等式恒成立時的取值范圍．

令,即，記.

(i)當即時，是上的增函數，

所以,故當時，①式恒成立；

(ii)當即時，令,

若，即時，則在區間上有兩個零點,

其中,故在上有兩個零點:

,

在區間和上， 遞增；在區間上，遞減；

故在區間上， 取極大值, ②

注意到，所以，所以,

注意到,在區間上， 遞增，所以,當時，.

故當時，在區間上，，而在區間上.

當時，，也滿足當時，；當時，.

故當時，①式恒成立；

(iii)若，則當時，，即，即當時，①式不可能恒成立.

綜上所述, 所求的取值范圍是.

方法二：等價于， ③

當時，③式恒成立；

當時，③式等價于：，令，則,

當時，；當時，，故當時，③式恒成立；

以下證明:對任意的正數,存在，使，取，則

，令，解得，即時，,

綜上所述, 所求的取值范圍是.