Question

【題目】已知如圖，圓、橢圓均經過點M，圓的圓心為，橢圓的兩焦點分別為.

（Ⅰ）分別求圓和橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過作直線與圓交于、兩點，試探究是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， ；(Ⅱ) 為定值，其值為2.

【解析】試題分析：（Ⅰ）通過計算圓心和半徑得圓的方程，根據計算a的值，及焦點得c即可得橢圓方程；

（Ⅱ）由直線和橢圓聯立，利用韋達定理，利用坐標表示，計算即可定值.

試題解析：

（Ⅰ）依題意知圓C的半徑，

∴圓C的標準方程為： ；

∵橢圓過點M，且焦點為、，

由橢圓的定義得： ，

即，

∴， ，

∴橢圓E的方程為： .

【其它解法請參照給分】

（Ⅱ）顯然直線的斜率存在，設為，則的方程為，

由消去得：

，

顯然有解，

設、，則，

．

故為定值，其值為2.