Question

【題目】一酒企為擴大生產規模，決定新建一個底面為長方形的室內發酵館，發酵館內有一個無蓋長方體發酵池，其底面為長方形(如圖所示)，其中.結合現有的生產規模，設定修建的發酵池容積為450米，深2米.若池底和池壁每平方米的造價分別為200元和150元，發酵池造價總費用不超過65400元

（1）求發酵池邊長的范圍；

（2）在建發酵館時，發酵池的四周要分別留出兩條寬為4米和米的走道（為常數）.問:發酵池的邊長如何設計，可使得發酵館占地面積最小.

Answer 1

【答案】（1）（2）當時，，米時，發酵館的占地面積最小；當時，時，發酵館的占地面積最小；當時，米時，發酵館的占地面積最小.

【解析】

（1）設米，總費用為，解即可得解；

（2）結合（1）可得占地面積結合導函數分類討論即可求得最值.

（1）由題意知:矩形面積米，

設米，則米，由題意知:，得，

設總費用為，

則，

解得:，又，故，

所以發酵池邊長的范圍是不小于15米，且不超過25米；

（2）設發酵館的占地面積為由（1）知:，

①時，，在上遞增，則，即米時，發酵館的占地面積最小；

②時，，在上遞減，則，即米時，發酵館的占地面積最小；

③時，時，，遞減；時，遞增，

因此，即時，發酵館的占地面積最小；

綜上所述：當時，，米時，發酵館的占地面積最小；當時，時，發酵館的占地面積最小；當時，米時，發酵館的占地面積最小.