Question

【題目】設函數f（x）=ex﹣x，h（x）=﹣kx3+kx2﹣x+1．
（1）求f（x）的最小值；
（2）設h（x）≤f（x）對任意x∈[0，1]恒成立時k的最大值為λ，證明：4＜λ＜6．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ex﹣x，∴f′（x）=ex﹣1，

x∈（﹣∞，0）時，f′（x）＜0，f（x）遞減，

x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）遞增，

∴f（x）min=f（0）=1

（2）解：由h（x）≤f（x），化簡可得k（x2﹣x3）≤ex﹣1，

當x=0，1時，k∈R，

當x∈（0，1）時，k≤ ，

要證：4＜λ＜6，則需證以下兩個問題：

① ＞4對任意x∈（0，1）恒成立，

②存在x0∈（0，1），使得 ＜6成立，

先證：① ＞4，即證ex﹣1＞4（x2﹣x3），

由（1）可得：ex﹣x≥1恒成立，

∴ex﹣1≥x，又x≠0，∴ex﹣1＞x，

即證x≥4（x2﹣x3）1≥4（x﹣x2）（2x﹣1）2≥0，

（2x﹣1）2≥0，顯然成立，

∴ ＞4對任意x∈（0，1）恒成立，

再證②存在x0∈（0，1），使得 ＜6成立，

取x0= ， =8（ ﹣1），

∵ ＜ ，∴8（ ﹣1）＜6× =6，

故存在x0∈（0，1），使得 ＜6，

由①②可得：4＜λ＜6

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，求出函數的最小值即可；（2）問題轉化為證明① ＞4對任意x∈（0，1）恒成立，②存在x0∈（0，1），使得 ＜6成立，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最值及其幾何意義(利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值)．