Question

設(shè)函數(shù)．
（1）在區(qū)間上畫出函數(shù)的圖象 ；
（2）設(shè)集合. 試判斷集合和之間
的關(guān)系，并給出證明 ；
（3）當(dāng)時(shí)，求證：在區(qū)間上，的圖象位于函數(shù)圖象的上方．
   

Answer 1

(1)見解析；（2）；（3）見解析.

試題分析：（1）畫出在上的圖象，然后將軸下方的翻到上方即可；（2）結(jié)合圖象，求出集合，則其與的關(guān)系一面了然；（3）只需證明當(dāng)時(shí)在區(qū)間上恒成立.
試題解析：（1）函數(shù)在區(qū)間上畫出的圖象如下圖所示：

（2）方程的解分別是和，
由于在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，
因此.                              6分
由于.                                   8分
（3）解法一：當(dāng)時(shí)，.
設(shè) , 9分
. 又，
① 當(dāng)，即時(shí)，取， .
， 則.               11分
② 當(dāng)，即時(shí)，取，＝.
由 ①、②可知，當(dāng)時(shí)，，.                           12分
因此，在區(qū)間上，的圖象位于函數(shù)圖象的上方.           13分
解法二：當(dāng)時(shí)，.
由 得，
令 ，解得 或，                         10分
在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，的圖象與函數(shù)的圖象只交于一點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，的圖象與函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn).    11分
如圖可知，由于直線過點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，直線是由直線繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到.
因此，在區(qū)間上，的圖象位于函數(shù)圖象的上方.      13分