Question

對于定義域為的函數，如果存在區間，同時滿足：
①在內是單調函數；②當定義域是，值域也是，則稱是函數
的“好區間”.
（1）設（其中且），判斷是否存在“好區間”，并
說明理由；
（2）已知函數有“好區間”，當變化時，求的最大值.

Answer 1

（1）不存在“好區間”；（2）的最大值為.

試題分析：（1）先求出的定義域.可知要對分情況討論，當時，定義域，在內是增函數；當時，定義域，在內還是增函數.從而得出，即方程在定義域內有兩個不等的實數根，即在定義域內有兩個不等的實數根.再用換元法，設，則相當于兩個不等的實數根，即在內有兩個不等的實數根,通過研究二次函數，發現在內有兩個不等的實數根無解，所以函數不存在“好區間”；（2）函數有“好區間”，由于定義域為，或，易知函數在上單調遞增，，所以是方程，即方程有同號的相異實數根，然后再用判別式求出的范圍，再用韋達定理用表示出，結合的范圍即可求出的最大值.
試題解析：（1）由.              2分
①當時，，此時定義域，，，
，，，
，，
，
在內是增函數；              4分
②當時，，此時定義域，
同理可證在內是增函數；              6分
存在“好區間”，
關于的方程在定義域內有兩個不等的實數根.
即在定義域內有兩個不等的實數根.(*)
設，則(*)，
即在內有兩個不等的實數根，
設，則無解.
所以函數不存在“好區間”.               8分
（2）由題設，函數有“好區間”，
或，函數在上單調遞增，
，所以是方程，即方程有同號的相異實數根. 12分
，同號，或.
,.
當，取得最大值.              16分