Question

（2012•順義區二模）已知橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，點F（1，0）為橢圓的右焦點．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）過右焦點F作斜率為k的直線l與橢圓G交于M、N兩點，若在x軸上存在著動點P（m，0），使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，試求出m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用離心率計算公式及a，b，c的關系可得

e= c a = 2 2 a2=c2+b2 c=1

，解得即可；
（II）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），t=

1

k

，線段MN的中點E（x₀，y₀）．設直線l：ty=x-1，與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系，進而得到E的坐標，用t表示．因為在x軸上存在著動點P（m，0），使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，
所以必有PE⊥MN，k•k_PE=-1，即可求出m的取值范圍．

解答：解：（I）由題意可得

e= c a = 2 2 a2=c2+b2 c=1

，解得

a2=2 b=c=1

，故橢圓G的方程為

x2

2

+y2=1；
（II）當k=0時，不滿足題意．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），t=

1

k

，線段MN的中點E（x₀，y₀）．
設直線l：ty=x-1，聯立

ty=x-1 x2+2y2=2

化為（t²+2）y²+2ty-1=0，
∴y1+y2=

-2t

t2+2

，∴y0=

y1+y2

2

=

-t

t2+2

．
∴x₀=ty₀+1=

2

t2+2

，因此E(

2

t2+2

，-

t

t2+2

)．
因為在x軸上存在著動點P（m，0），使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，
所以必有PE⊥MN，∴

1

t

•

-t t2+2

2 t2+2 -m

=-1，
化為m=

1

t2+2

，
∵t²＞0．
∴0＜m＜

1

2

．
故m的取值范圍是(0，

1

2

)．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、直線相互垂直于斜率之間的關系等基礎知識與基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力、計算能力．