Question

在如圖所示的多面體中，已知正三棱柱ABCA₁B₁C₁的所有棱長均為2，四邊形ABDC是菱形．

(1)求證：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
(2)求該多面體的體積．

Answer 1

（1）見解析（2）

(1)證明：由正三棱柱ABCA₁B₁C₁，得BB₁⊥AD.
而四邊形ABDC是菱形，所以AD⊥BC.
又BB₁平面BB₁C₁C，BC平面BB₁C₁C，且BC∩BB₁＝B，所以AD⊥平面BCC₁B₁.
又由AD平面ADC₁，得平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁.
(2)解：因為正三棱柱ABCA₁B₁C₁的體積為V₁＝S_△ABC×AA₁＝2，
四棱錐DB₁C₁CB的體積為V₂＝S平面BCC₁B₁×，
所以該多面體的體積為V＝.