Question

設函數f（x）=x²+aln（x+1）有兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求實數a的取值范圍，并討論函數f（x）的單調性；
（2）若對任意的x∈（x₁，+∞），都有f（x）＞k成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求導f′(x)=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

（x＞-1），再令g（x）=2x²+2x+a（x＞-1），則其對稱軸為x=-

1

2

，從而可得

△=4-8a＞0 g(-1)=a＞0

；從而解a；
可知f′(x)=

2x2+2x+a

x+1

=

2(x-x1)(x-x2)

x+1

，其中-1＜x₁＜x₂，從而由導數確定函數的單調性；
（2）由（1）可知f（x）在區間（x₁，+∞）上的最小值為f（x₂），從而得到g(x2)=2

x

2 2

+2x2+a=0，從而可得a=-(2

x

2 2

+2x2)，化簡f(x2)=

x

2 2

+aln(x2+1)=

x

2 2

-(2

x

2 2

+2x2)ln(x2+1)，設h（x）=x²-（2x²+2x）ln（x+1），其中-

1

2

＜x＜0；求導h′（x）=2x-2（2x+1）ln（x+1）-2x=-2（2x+1）ln（x+1），從而化恒成立問題為最值問題．

解答： 解：（1）由f（x）=x²+aln（x+1）可得f′(x)=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

（x＞-1），
令g（x）=2x²+2x+a（x＞-1），則其對稱軸為x=-

1

2

，
故由題意可知x₁，x₂是方程g（x）=0的兩個均大于-1的不相等的實數根，
其充要條件為

△=4-8a＞0 g(-1)=a＞0

；
解得0＜a＜

1

2

；
可知f′(x)=

2x2+2x+a

x+1

=

2(x-x1)(x-x2)

x+1

，其中-1＜x₁＜x₂，故
①當x∈（-1，x₁）時，f′（x）＞0，即f（x）在區間（-1，x₁）上單調遞增，
②當x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＜0，即f（x）在區間（x₁，x₂）上單調遞減，
③當x∈（x₂，+∞）時，f′（x）＞0，即f（x）在區間（x₂，+∞）上單調遞增；
（2）由（1）可知f（x）在區間（x₁，+∞）上的最小值為f（x₂），
又由于g（0）=a＞0，因此-

1

2

＜x2＜0．
又由g(x2)=2

x

2 2

+2x2+a=0，
可得a=-(2

x

2 2

+2x2)，
從而f(x2)=

x

2 2

+aln(x2+1)=

x

2 2

-(2

x

2 2

+2x2)ln(x2+1)，
設h（x）=x²-（2x²+2x）ln（x+1），其中-

1

2

＜x＜0；
則h′（x）=2x-2（2x+1）ln（x+1）-2x=-2（2x+1）ln（x+1），
由-

1

2

＜x＜0知：2x+1＞0，ln（x+1）＜0，
故h′（x）＞0，故h（x）在(-

1

2

，0)上單調遞增；
所以，f(x2)=h(x2)＞h(-

1

2

)=

1-2ln2

4

；
所以，實數k的取值范圍為k≤

1-2ln2

4

．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題的應用，屬于中檔題．