Question

設f₁（x）=2x-1，f₂（x）=x²，數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=f₂（n），數列{b_n}中，b₁=2，b_n=f₁（b_n-1）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求證：數列{b_n-1}是等比數列．

Answer 1

考點：等比關系的確定,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據函數表達式，結合數列項和前n項和之間的關系即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）求出b_n的表達式，利用構造法即可證明數列{b_n-1}是等比數列．

解答： （1）解：∵f₂（x）=x²，
∴S_n=f₂（n）=n²，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
當n=1時，a₁=S₁=1，滿足a_n=2n-1，
故數列{a_n}的通項公式為a_n=2n-1；
（2）證明：∵f₁（x）=2x-1，b₁=2，b_n=f₁（b_n-1），
∴b_n=f₁（b_n-1）=2b_n-1-1．
即b₁-1=2（b_n-1-1）．
故數列{b_n-1}是一2為公比的等比數列．

點評：本題主要考查數列通項公式的求解以及等比數列的判斷，利用構造法是解決本題的關鍵．