Question

(13分)四棱錐的底面是邊長為1的正方形,
,, 為上兩點,且
.
(1)求證:面;
(2)求異面直線PC與AE所成的角
(3)求二面角的正切值.

Answer 1

法1:(1)連BD交AC于O,連OE.

(2)過E作交于,則為異面直線所成的角或補角，由計算可得
，在中用余弦定理可得
，則異面直線所成的角為。
(2)由PA="1," AD=1,  PD=
∴PA⊥面ACD   又CD⊥AD ∴CD⊥PD.
取PD中點M. ∴AM⊥面PCD, 過M作MN⊥CE交CE于N.
連AN 則∠ANM為A-EC-PE切值.
AM=.又△MNE∽△CDE    ∴
Pt△AMN中,
法2:以A為坐標原點.AB為軸,AD為軸,AP為軸建立坐標系.
則B(1,0,0), D(0,1,0), P(0,0,1), C(1,1,0), , E
(1).設(shè)面ACE法向量

∴BF//面ACE.
(2) ，，
則異面直線所成的角為
(3)設(shè)面PCE法向量 則

∴二面角A-EC-P的正切值為.

略