Question

已知函數y=2sin（2x+

π

4

）．
求（1）最小周期．
（2）單調遞增區間和單調遞減區間．
（3）對稱軸方程和對稱中心．
（4）判斷奇偶性．
（5）若x∈[0，

π

2

]，求函數的值域，并求出當函數取得最大值時，自變量x的集合．

Answer 1

考點：復合三角函數的單調性,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）直接利用正弦函數的周期公式求出結果．
（2）直接利用整體思想求出函數的單調區間．
（3）直接利用整體思想求出對稱軸和對稱中心．
（4）利用f（-x）與-f（x）和f（x）是否相等確定奇偶性．
（5）利用函數的定義域確定函數的值域，并求出最值．

解答： 解：（1）函數y=2sin（2x+

π

4

），
則：T=

2π

2

=π
（2）令：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ
所以函數的單調遞增區間為：[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]（k∈Z）
令：

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ
所以函數的單調遞減區間為：[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]（k∈Z）
（3）令：2x+

π

4

=kπ+

π

2

解得：x=

kπ

2

+

π

8

所以對稱軸方程為：x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z）
令令：2x+

π

4

=kπ
解得：x=

kπ

2

-

π

8

所以：對稱中心為：(

kπ

2

-

π

8

，0)（k∈Z）
（4）函數x∈R
但f（-x）≠-f（x）≠f（x）
所以；函數是非奇非偶函數．
（5）由于：0≤x≤

π

2

所以：

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1
則：-

2

≤sin(2x+

π

4

)≤2
即函數的值域為：[-

2

，2]
當2x+

π

4

=

π

2

時，
解得：x=

π

8

．
x的集合{x|x=

π

8

}

點評：本題考查的知識要點：重點考查函數的單調性函數的對稱軸和對稱中心，函數的奇偶性，及函數的值域，屬于基礎題型．