Question

【題目】設(shè)是定義在上的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，，都有，且當(dāng)時(shí)，．

（1）證明:①；②當(dāng)時(shí)，；③是上的增函數(shù)；

（2）設(shè)，試解關(guān)于的不等式．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

【解析】

試題分析：（1）①利用賦值法，令，解得.②當(dāng)時(shí)，，由已知得，利用，化簡(jiǎn)得.③任取，由（1）（2）及已知條件知時(shí)，，且，所以函數(shù)為增函數(shù)；（2）先化簡(jiǎn)，

即，即，對(duì)分類(lèi)討論解集的情況.

試題解析：

（1）證明：（1）在中，令，

得即，∴或1，

若，則當(dāng)時(shí)，有與題設(shè)矛盾，

∴；

（2）當(dāng)時(shí)，，由已知得，

又，∴，

即時(shí)，；

（3）任取，由（1）（2）及已知條件知時(shí)，，

則，∵，∴，又因?yàn)?/span>，

∴，

∴在定義域上為增函數(shù)；

（2），

又，在上單調(diào)遞增，

∴原不等式等價(jià)于，

不等式可化為，

∴當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)，即時(shí)，．