Question

【題目】已知函數和分別是上的奇函數和偶函數，且，其中為自然對數的底數．

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）當時，分別求出曲線和切線斜率的最小值；

（Ⅲ）設，證明：當時，曲線在曲線和之間，且相互之間沒有公共點．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）曲線和切線斜率的最小值分別為和；（Ⅲ）證明見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由函數奇偶性，可得，解得；（Ⅱ）由（Ⅰ），由基本不等式可得的最小值為2，又，可知曲線和切線斜率的最小值分別為2和0；（Ⅲ）由已知，，

故只需證，此命題等價于且，構造函數，分情況討論及時，的函數值取值情況.

試題解析：（Ⅰ）由已知得，

所以。

（Ⅱ），

，

當時，，

由基本不等式，有，當且僅當時等號成立。

故在單調遞增，即。

所以當時，曲線和切線斜率的最小值分別為2和0。

（Ⅲ）當時，

因為。

所以只需證。

等價于，

等價于。

設函數，

。

①若，則，故在上為增函數，從而當時，，即。

②若，則，故在上為減函數，從而當時，，即。

綜上，當時，成立，

即曲線在曲線和之間，且相互之間沒有公共點。