Question

（本小題滿分14分）
已知函數，其中.
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）若直線是曲線的切線，求實數的值；
（Ⅲ）設，求在區間上的最大值.（其中為自然對數的底數）

Answer 1

（Ⅰ）當時，在單調增加

（Ⅱ）當時，在單調減少，在單調增加；
若時，；
若時，；
（Ⅲ）時，；時，。

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用
（1）利用導數的幾何意義可知切點坐標，以及切線的斜率，點斜式方程寫出結論。
（2）對數參數a進行分類討論得到函數的單調性，進而分析得到函數的最值。
解：①（）
令，則，又的定義域是

		（0,2）	2	（2，）
			0

②設切點為則  解得
③      
令，則，
（Ⅰ）當時，在單調增加

（Ⅱ）當時，在單調減少，在單調增加；
若時，；
若時，；
（Ⅲ）當時，在上單調遞減，；
綜上所述，時，；
時，。