Question

【題目】已知四棱錐中,底面是正方形,平面,,是的中點.

（1）求證：平面平面;

（2）求二面角的大小;

（3）試判斷所在直線與平面是否平行,并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）AE與平面PCD不平行,詳見解析

【解析】

（1）先根據條件證平面,又因為平面,所以可以證得平面平面.

（2）根據條件得兩兩垂直,以此建立空間直角坐標系,求出平面的法向量,設平面的法向量,求出法向量,根據公式求出兩個法向量的余弦值,即可得出二面角的大小.

（3）依題意可證平面,則平面的法向量為,又∵,則與不垂直,證得與平面不平行.

（1）證明：∵是正方形

∵⊥平面, 平面,∴

∵平面

∴平面

又∵平面

∴平面平面

（2）∵平面, 平面

∴

又∵是正方形∴

∴兩兩垂直

∴以為原點如圖建系,設

∴, , , , ,

∴

又∵平面

∴平面的法向量

設平面 的法向量

則,

∴

令,得∴

∴

∴二面角的大小為

（3）∵, ,

又平面,∴平面

∴平面的法向量為

又∵

∴與不垂直,∴與平面不平行