【題目】在四棱椎
中，四邊形
為菱形，
，
，
，
，
，
分別為
，
中點.
.
（1）求證：
；
（2）求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）證明
，
得到
平面
，得到證明.
（2）以點
為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系
，平面的一個法向量為
，平面
的一個法向量為
，計算夾角得到答案.
（1）因為四邊形
是菱形，且
，所以
是等邊三角形，
又因為是
的中點，所以
，又因為
，
，所以
，
又
，
，
，所以
，
又
，
，所以
平面，所以，
又因為是菱形，
，所以，又
，
所以平面，所以
.
（2）由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知
，
，
，
以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
，
，
，
，
，
設(shè)平面的一個法向量為
，則：
，
據(jù)此可得平面的一個法向量為，
設(shè)平面的一個法向量為
，則：
，
據(jù)此可得平面的一個法向量為，
，
平面與平面所成銳二面角的余弦值.
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐E﹣ABCD的側(cè)棱DE與四棱錐F﹣ABCD的側(cè)棱BF都與底面ABCD垂直，
，
//
，
.
（1）證明：
//平面BCE.
（2）設(shè)平面ABF與平面CDF所成的二面角為θ，求
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷，凡在該超市購物滿400元的顧客，將獲得一次摸獎機會，規(guī)則如下：獎盒中放有除顏色外完全相同的1個紅球，1個黃球，1個白球和1個黑球．顧客不放回的每次摸出1個球，若摸到黑球則停止摸獎，否則就繼續(xù)摸球．規(guī)定摸到紅球獎勵20元，摸到白球或黃球獎勵10元，摸到黑球不獎勵．
（1）求1名顧客摸球2次停止摸獎的概率；
（2）記
為1名顧客5次摸獎獲得的獎金數(shù)額，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知
，B為AC的中點，分別以AB，AC為直徑在AC的同側(cè)作半圓，M，N分別為兩半圓上的動點
不含端點A，B，
，且
，則
的最大值為______．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，將一個邊長為
的正三角形分成
個全等的正三角形，第一次挖去中間的一個小三角形，將剩下的
個小正三角形，分別再從中間挖去一個小三角形，保留它們的邊，重復操作以上的做法，得到的集合為希爾賓斯基三角形.設(shè)
是前
次挖去的小三角形面積之和（如
是第次挖去的中間小三角形面積，
是前
次挖去的個小三角形面積之和），則
_____________ ，
__________.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某公司生產(chǎn)一種智能手機的投入成本是4500元/部，當手機售價為6000元/部時，月銷售量為
臺，市場分析的結(jié)果表明，如果手機的銷售價提高的百分率為
，那么月銷售量減少的百分率為
.記銷售價提高的百分率為
時，月利潤是
元.
（1）寫出月利潤與的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如何確定這種智能手機的銷售價，使得該公司的月利潤最大.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】黨的十九大明確把精準脫貧作為決勝全面建成小康社會必須打好的三大攻堅戰(zhàn)之一.為堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，某幫扶單位為幫助定點扶貧村脫貧，堅持扶貧同扶智相結(jié)合，此幫扶單位考察了甲、乙兩種不同的農(nóng)產(chǎn)品加工生產(chǎn)方式，現(xiàn)對兩種生產(chǎn)方式的產(chǎn)品質(zhì)量進行對比，其質(zhì)量按測試指標可劃分為：指標在區(qū)間
的為優(yōu)等品；指標在區(qū)間
的為合格品，現(xiàn)分別從甲、乙兩種不同加工方式生產(chǎn)的農(nóng)產(chǎn)品中，各自隨機抽取100件作為樣本進行檢測，測試指標結(jié)果的頻數(shù)分布表如下：
甲種生產(chǎn)方式：
指標區(qū)間 |
|
|
|
|
|
|
頻數(shù) | 5 | 15 | 20 | 30 | 15 | 15 |
乙種生產(chǎn)方式：
指標區(qū)間 |
|
|
|
|
|
|
頻數(shù) | 5 | 15 | 20 | 30 | 20 | 10 |
（1）在用甲種方式生產(chǎn)的產(chǎn)品中，按合格品與優(yōu)等品用分層抽樣方式，隨機抽出5件產(chǎn)品，①求這5件產(chǎn)品中，優(yōu)等品和合格品各多少件；②再從這5件產(chǎn)品中，隨機抽出2件，求這2件中恰有1件是優(yōu)等品的概率；
（2）所加工生產(chǎn)的農(nóng)產(chǎn)品，若是優(yōu)等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元.甲種生產(chǎn)方式每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本為15元，乙種生產(chǎn)方式每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本為20元.用樣本估計總體比較在甲、乙兩種不同生產(chǎn)方式下，該扶貧單位要選擇哪種生產(chǎn)方式來幫助該扶貧村來脫貧？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某校抽取了100名學生期中考試的英語和數(shù)學成績，已知成績都不低于100分，其中英語成績的頻率分布直方圖如圖所示，成績分組區(qū)間是
，
，
，
，
.
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學生英語成績的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；
（2）若這100名學生數(shù)學成績分數(shù)段的人數(shù)y的情況如下表所示：
分組區(qū)間 |
|
|
|
|
|
y | 15 | 40 | 40 | m | n |
且區(qū)間內(nèi)英語人數(shù)與數(shù)學人數(shù)之比為
，現(xiàn)從數(shù)學成績在
的學生中隨機選取2人，求選出的2人中恰好有1人數(shù)學成績在的概率.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】下列說法中錯誤的個數(shù)是（ ）
①從某社區(qū)65戶高收入家庭，280戶中等收入家庭，105戶低收入家庭中選出100戶調(diào)查社會購買力的某一項指標，應(yīng)采用的最佳抽樣方法是分層抽樣
②線性回歸直線
一定過樣本中心點
③對于一組數(shù)據(jù)
，如果將它們改變?yōu)?/span>
，則平均數(shù)與方差均發(fā)生變化
④若一組數(shù)據(jù)1、
、2、3的眾數(shù)是2，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是2
⑤用系統(tǒng)抽樣方法從編號為1，2，3，…，700的學生中抽樣50人，若第2段中編號為20的學生被抽中，按照等間隔抽取的方法，則第5段中被抽中的學生編號為76
A.0B.1C.2D.3
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