Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點F1(-

5

，0)，若橢圓上存在一點D，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段DF₁相切于線段DF₁的中點F．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知兩點Q（-2，0），M（0，1）及橢圓G：

9x2

a2

+

y2

b2

=1，過點Q作斜率為k的直線l交橢圓G于H，K兩點，設線段HK的中點為N，連接MN，試問當k為何值時，直線MN過橢圓G的頂點？
（Ⅲ） 過坐標原點O的直線交橢圓W：

9x2

2a2

+

4y2

b2

=1于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC并延長交橢圓W于B，求證：PA⊥PB．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接DF₂，FO，由題設條件能夠推導出|FF1|=

1

2

|DF1|=a-b，在Rt△FOF₁中，b²+（a-b）²=c²=5，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得橢圓G：x2+

y2

4

=1，設直線l的方程為y=k（x+2），并代入x2+

y2

4

=1得：（k²+4）x²+4k²x+4k²-4=0，利用根的判別式、中點坐標公式推導出當k=0或k=

2

3

或k=-4+2

5

時，直線MN過橢圓G的頂點．
（Ⅲ）法一：由橢圓W的方程為

x2

2

+y2=1，設P（m，n），則A（-m，-n），C（m，0），直線AC的方程為y+n=

n

2m

(x+m)，過點P且與AP垂直的直線方程為y-n=-

m

n

(x-m)，由此能夠證明PA⊥PB．
法二：由（Ⅰ）得橢圓W的方程為

x2

2

+y2=1，設P（m，n），則A（-m，-n），C（m，0），故kPA=

n

m

，kAC=

n

2m

，由此能夠證明PA⊥PB．

解答：（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）連接DF₂，FO（O為坐標原點，F₂為右焦點），
由題意知：橢圓的右焦點為F2(

5

，0)
因為FO是△DF₁F₂的中位線，且DF₁⊥FO，
所以|DF₂|=2|FO|=2b，
所以|DF₁|=2a-|DF₂|=2a-2b，
故|FF1|=

1

2

|DF1|=a-b．…（2分）
在Rt△FOF₁中，|FO|2+|FF1|2=|F1O|2
即b²+（a-b）²=c²=5，又b²+5=a²，解得a²=9，b²=4，
所求橢圓E的方程為

x2

9

+

y2

4

=1．…（4分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得橢圓G：x2+

y2

4

=1
設直線l的方程為y=k（x+2）并代入x2+

y2

4

=1
整理得：（k²+4）x²+4k²x+4k²-4=0
由△＞0得：-

2

3

3

＜k＜

2

3

3

，…（5分）
設H（x₁，y₁），K（x₂，y₂），N（x₀，y₀）
則由中點坐標公式得：

x0= -2k2 k2+4 y0=k(x0+2)= 8k k2+4

…（6分）
①當k=0時，有N（0，0），直線MN顯然過橢圓G的兩個頂點（0，-2），（0，2）．…（7分）
②當k≠0時，則x₀≠0，直線MN的方程為y=

y0-1

x0

x+1
此時直線MN顯然不能過橢圓G的兩個頂點（0，-2），（0，2）；
若直線MN過橢圓G的頂點（1，0），則0=

y0-1

x0

+1，即x₀+y₀=1，
所以

-2k2

k2+4

+

8k

k2+4

=1，解得：k=

2

3

，k=2（舍去），…（8分）
若直線MN過橢圓G的頂點（-1，0），則0=-

y0-1

x0

+1，即x₀-y₀=-1，
所以

-2k2

k2+4

-

8k

k2+4

=-1，
解得：k=-4+2

5

，k=-4-2

5

（舍去）．…（9分）
綜上，當k=0或k=

2

3

或k=-4+2

5

時，直線MN過橢圓G的頂點．…（10分）
（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得橢圓W的方程為

x2

2

+y2=1，…（11分）
根據題意可設P（m，n），則A（-m，-n），C（m，0）
則直線AC的方程為y+n=

n

2m

(x+m)，…①
過點P且與AP垂直的直線方程為y-n=-

m

n

(x-m)，…②
①×②并整理得：

x2

2

+y2=

m2

2

+n2，
又P在橢圓W上，所以

m2

2

+n2=1，
所以

x2

2

+y2=1，
即①、②兩直線的交點B在橢圓W上，所以PA⊥PB．…（14分）
法二：由（Ⅰ）得橢圓W的方程為

x2

2

+y2=1
根據題意可設P（m，n），則A（-m，-n），C（m，0），
∴kPA=

n

m

，kAC=

n

2m

，
所以直線AC：y=

n

2m

(x-m)

y= n 2m (x-m) x2 2 +y2=1

，
化簡得(1+

n2

2m2

)x2-

n2

m

x+

n2

2

-2=0，
所以xA+xB=

2mn2

2m2+n2

，
因為x_A=-m，所以xB=

2m3+3mn2

2m2+n2

，則yB=

n

2m

xB-

n

2

=

n3

2m2+n2

．…（12分）
所以kPB=

n3 2m2+n2 -n

2m3+3mn2 2m2+n2 -m

=-

m

n

，則k_PA•k_PB=-1，故PA⊥PB．…（14分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線垂直的證明，探索滿足條件的實數的取值的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想、分類討論思想和函數方程思想的合理運用．