Question

如圖1，在△ABC中，點P為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉，若點B，P在直線a的異側，BM⊥直線a于點M．CN⊥直線a于點N，連接PM，PN．

（1）延長MP交CN于點E（如圖2）．
①求證：△BPM≌△CPE；
②求證：PM=PN；
（2）若直線a繞點A旋轉到圖3的位置時，點B，P在直線a的同側，其它條件不變，此時PM=PN還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
（3）若直線a繞點A旋轉到與BC邊平行的位置時，其它條件不變，請直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時PM=PN還成立嗎？不必說明理由．

Answer 1

(1)結合三角形的邊和角來證明全等同時得到線段的對應相等的證明。
(2) PM="PN" 成立，同樣是借助于三角形的全等來證明。
(3) “四邊形MBCN是矩形，則PM=PN成立”

試題分析：（1）證明：①如圖2：

∵BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，
∴∠BMN=∠CNM=90°，
∴BM∥CN，
∴∠MBP=∠ECP，
又∵P為BC邊中點，
∴BP=CP，
又∵∠BPM=∠CPE，
∴△BPM≌△CPE，        3分
②∵△BPM≌△CPE，
∴PM=PE∴PM="1" 2 ME，
∴在Rt△MNE中，PN="1" 2 ME，     4分
∴PM=PN．
（2）解：成立，如圖3．

證明：延長MP與NC的延長線相交于點E，
∵BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，
∴∠BMN=∠CNM=90°∴∠BMN+∠CNM=180°，
∴BM∥CN∴∠MBP=∠ECP，     6分
又∵P為BC中點，
∴BP=CP，
又∵∠BPM=∠CPE，
∴△BPM≌△CPE，
∴PM=PE，
∴PM="1" 2 ME，
則Rt△MNE中，PN="1" 2 ME，
∴PM=PN．     8分
（3）解：如圖4，

四邊形M′BCN′是矩形，
根據矩形的性質和P為BC邊中點，得到△M′BP≌△N′CP，   9分
得PM′=PN′成立．即“四邊形MBCN是矩形，則PM=PN成立”．   10分
點評：解決該試題的關鍵是對于相似三角形的性質的熟練運用，屬于基礎題。