Question

【題目】設(shè) ，數(shù)列滿足，，將數(shù)列的前100項(xiàng)從大到小排列得到數(shù)列，若，則k的值為______；

Answer 1

【答案】

【解析】

根據(jù)遞推公式利用數(shù)學(xué)歸納法分析出與的關(guān)系，然后考慮將的前項(xiàng)按要求排列，再根據(jù)項(xiàng)的序號(hào)計(jì)算出滿足的值即可.

由已知，a1＝a，0＜a＜1；并且函數(shù)y＝ax單調(diào)遞減；

∵

∴1>a2＞a1

∴，

∴a2＞a3＞a1

∵，且

∴a2＞a4＞a3＞a1

……

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明，

當(dāng)時(shí)，成立，

設(shè)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，結(jié)合的單調(diào)性，

所以，所以即，所以時(shí)成立，

所以為奇數(shù)時(shí)，；

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明，

當(dāng)時(shí)，成立，設(shè)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，結(jié)合的單調(diào)性，

所以，所以即，所以時(shí)成立，

所以為偶數(shù)時(shí)，；

用數(shù)學(xué)歸納法證明：任意偶數(shù)項(xiàng)大于相鄰的奇數(shù)項(xiàng)即證：當(dāng)為奇數(shù)，，

當(dāng)時(shí)，符合，設(shè)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，結(jié)合的單調(diào)性，

所以，所以，所以，所以時(shí)成立，

所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，

據(jù)此可知：，

當(dāng)時(shí)，若，則有，此時(shí)無(wú)解；

當(dāng)時(shí)，此時(shí)的下標(biāo)成首項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列，通項(xiàng)即為，

若，所以，所以.

故答案為：.