Question

某生產飲料的企業擬投入適當的廣告費對產品進行促銷，在一年內，預計年產量Q(萬件)與廣告費x(萬元)之間的函數關系式為Q＝(x≥0)．已知生產此產品的年固定投入為3萬元，每生產1萬件此產品需再投入32萬元，若每件售價為“年平均每件成本的150％”與“年平均每件所占廣告費的50％”之和．

(1)試將利潤y(萬元)表示為年廣告費x(萬元)的函數．如果年廣告費投入100萬元，企業是虧損還是盈利？

(2)當年廣告費投入多少萬元時，企業年利潤最大？

(注：①“年平均每件成本”中不計廣告費支出；②假定每年生產的產品當年全部售出)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)利潤＝年收入－年成本－年廣告費，售價＝×150％＋×50％， 　　收入＝(3＋32Q)×150％＋50％x， 　　∴y＝(3＋32Q)×150％＋50％x－(3＋32Q)－x 　　＝(32Q＋3－x) 　　＝(32×＋3－x) 　　＝[32×(3－2x＋1)＋3－x] 　　＝50－(＋x＋1)． 　　當x＝100時，y＝50－12(＋101)＜0， 　　∴此時企業虧損． 　　(2)∵64x＋1＋x＋1≥＝16， 　　∴y＝50－(＋x＋1)≤50－8＝42． 　　當且僅當＝x＋1，即x＝7時取等號． 　　故當廣告投入7萬元時，企業年利潤最大． 　　ymax＝42．