Question

【題目】直三棱柱中，，分別是，的中點，，為棱上的點．

證明：；

證明：；

是否存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，說明點的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）當D為中點．

【解析】

根據線面垂直的性質定理證明面即可．

建立空間坐標系，求出直線對應的向量，利用向量垂直的關系進行證明．

求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可．

證明：，，，

又，，面．

又面，，

以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則有，

設且，

即y，，0，，則0，，，

，，所以；

結論：存在一點D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為，理由如下：

由題可知面ABC的法向量，設面DEF的法向量為，

則，

，

，即，

令，則．

平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為，

，

即，

解得或舍，

所以當D為中點時滿足要求．