Question

【題目】設函數，曲線在點處的切線方程為.

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）當時，若為整數，且，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），,（Ⅱ）2

【解析】

（Ⅰ）根據導數的幾何意義，列方程組，求解即可.

（Ⅱ）將變形整理為，即（），令，，令，則，函數在單調遞增，從而確定在存在唯一的零點，設此零點為，則并且，即，再判斷的單調性，確定在的最小值為，求解的最大值即可.

（Ⅰ）由，

由于的斜率為1，且過點得，

即解得，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

所以得，.

故當時，等價于（）①

令，則

令，∵，∴

所以函數在單調遞增．

而，，所以在存在唯一的零點

故在存在唯一的零點，設此零點為，則．

當時，，減函數；

當時，，增函數；

所以在的最小值為，

又由，可得，所以，

故①等價于，故整數的最大值為2．