Question

【題目】已知數(shù)列滿足：，，.

（1）求的值；

（2）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；

（3）對任意的，，在數(shù)列中是否存在連續(xù)的項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，寫出這項(xiàng)，并證明這項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列：若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）證明見解析，（3）存在；在數(shù)列中，這連續(xù)的項(xiàng)就構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列；證明見解析

【解析】

（1）2,4為偶數(shù)，代入，可得，同理3,5代入，可得；（2）根據(jù)等式，分別表示出和，，由于是偶數(shù)，故用到部分，那么整理化簡，可證得是等比數(shù)列，再令n=1可求出，進(jìn)而得出通項(xiàng)公式；（3）先觀察數(shù)列的前7項(xiàng)，進(jìn)而猜得這連續(xù)的項(xiàng)就構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明。

（1）因?yàn)?/span>，所以，，

；

（2）由題意，對于任意的正整數(shù)，，所以

又所以.

又

所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，

所以

（3）存在，事實(shí)上，對任意的，，在數(shù)列中，

這連續(xù)的項(xiàng)就構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列

我們先用數(shù)學(xué)歸納法證明：

“對任意的，，，，有”

1）時(shí)，，，命題成立

2）假設(shè)時(shí)命題成立，則時(shí)，對任意，

（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，

（用到歸納假設(shè)）

.

（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

（用到歸納假設(shè)）

由（1）（2）可知，命題對也成立；

綜合1）2）可得：“對任童的，，有”

對任意的，，

，其中，

所以

所以這連續(xù)的項(xiàng)，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.