Question

已知α滿足f（α）=

sin(α- 3π 2 )cos( π 2 +α)tan(π-α)

tan(α-π)sin(π-α)

（1）化簡f（α）；
（2）若cos（α-

3π

2

）=

1

3

，α∈（π，

3π

2

），求f（α+

π

4

）的值；
（3）若f（α）=2f（α+

π

2

），求sin²α+2sinα•cosα的值．

Answer 1

考點：運用誘導公式化簡求值,同角三角函數基本關系的運用

專題：三角函數的求值

分析：（1）運用誘導公式對f（α）=

sin(α- 3π 2 )cos( π 2 +α)tan(π-α)

tan(α-π)sin(π-α)

化簡即可；
（2）利用cos（α-

3π

2

）=-sinα=

1

3

，α∈（π，

3π

2

），可求得cosα，從而可求得f（α+

π

4

）的值；
（3）依題意，可求得tanα=-

1

2

，利用“弦”化“切”即可求得sin²α+2sinα•cosα的值．

解答： 解：（1）f（α）=

cosα(-sinα)•(-tanα)

tanαsinα

=cosα…4分
（2）cos（α-

3π

2

）=-sinα=

1

3

，
∴sinα=-

1

3

，又α∈（π，

3π

2

），∴cosα=-

2 2

3

，
∴f(α+

π

4

)=cos(α+

π

4

)=

2

2

(cosα-sinα)=

2 -4

6

--------------（8分）
（3）∵f(α)=2f(α+

π

2

)，∴cosα=-2sinα，∴tanα=-

1

2

，
原式=

sin2α+2sinα•cosα

sin2α+cos2α

=

tan2α+2tanα

tan2α+1

=-

3

5

----------------（12分）

點評：本題考查運用誘導公式化簡求值，考查同角三角函數基本關系的運用，基本知識的考查．