Question

設f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，函數g（x）與f（x）的圖象關于y軸對稱，且當x∈（0，1）時，g（x）=lnx-ax²．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若對于區間（0，1）上任意的x，都有|f（x）|≥1成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用函數g（x）與f（x）的圖象關于y軸對稱得：f（x）的圖象上任意一點P（x，y）關于y軸對稱的對稱點Q（-x，y）在g（x）的圖象上；然后再利用x∈[-1，0）時，-x∈（0，1]，則f（x）=g（-x）求出一段解析式，再利用定義域內有0，可得f（0）=0；最后利用其為奇函數可求x∈（0，1]時對應的解析式，綜合即可求函數f（x）的解析式；
（2）先求出f（x）在（0，1]上的導函數，利用其導函數求出其在（0，1]上的單調性，進而求出其最大值，只須讓起最大值與1相比即可求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵g（x）的圖象與f（x）的圖象關于y軸對稱，
∴f（x）的圖象上任意一點P（x，y）關于y軸對稱的對稱點Q（-x，y）在g（x）的圖象上．
當x∈[-1，0）時，-x∈（0，1]，則f（x）=g（-x）=ln（-x）-ax²．（2分）
∵f（x）為[-1，1]上的奇函數，則f（0）=0．（4分）
當x∈（0，1]時，-x∈[-1，0），f（x）=-f（-x）=-lnx+ax²．（6分）
∴f（x）=

ln(-x)-ax2(-1≤x＜0) 0  (x=0) -lnx+ax2(0＜x≤1)

（7分）
（2）由（1）知，f'（x）=-

1

x

+2ax．
①若f'（x）≤0在（0，1]恒成立，則-

1

x

+2ax≤0?a≤

1

2x2

．
此時，a≤

1

2

，f（x）在（0，1]上單調遞減，f（x）_min=f（1）=a，
∴f（x）的值域為[a，+∞）與|f（x）|≥1矛盾．（11分）
②當a＞

1

2

時，令f'（x）=-

1

x

+2ax=0?x=

1 2a

∈（0，1]，
∴當x∈（0，

1 2a

）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，
當x∈（

1 2a

，1]時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增，
∴f（x）_min=f（

1 2a

）=-ln

1 2a

+a( 

1 2a )

2=

1

2

ln2a+

1

2

．
由|f（x）|≥1，得

1

2

ln2a+

1

2

≥1?≥

e

2

．（15分）
綜上所述，實數a的取值范圍為a≥

e

2

．（16分）

點評：本題主要考查函數恒成立問題以及函數解析式的求解及常用方法和奇偶函數圖象的對稱性，是對函數知識的綜合考查，屬于中檔題．