Question

某市為充實干部隊伍組織了一場面向全市的年輕干部招考，考試分為2部分，第一部分為筆試，第二部分為面試，筆試為在試題庫中任選4題作答，若答對3題，再從面試的3個項目中任選2項進行測試，若2項面試都通過，則成功進入后備干部人才庫；其他情況下，直接淘汰，若筆試中媒體答對的概率是

1

2

，面試中每項能通過的概率是

2

3

，且各次答題、面試都相互獨立．
（Ⅰ）求某名考生能成功進入后備干部人才庫的概率；
（Ⅱ）若筆試中每題答對10分，答錯0分，面試中每項測試通過10分，不通過0分，求某名考生此次考試所得分數的分布列和數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）設A表示“答對試題”，B₁表示“第一項面試通過”，B₂表示“第二項面試通過”，由P=[P₄（3）+P₄（4）]P（B₁）P（B₂），能求出某名考生能成功進入后備干部人才庫的概率．
（Ⅱ）某名考生此次考試所得分數X的可能取值為0，10，20，30，40，50，60，分別求出相應的概率，由此能求出某名考生此次考試所得分數的分布列和數學期望．

解答： 解：（Ⅰ）設A表示“答對試題”，B₁表示“第一項面試通過”，B₂表示“第二項面試通過”，
某名考生能成功進入后備干部人才庫的概率：
P=[P₄（3）+P₄（4）]P（B₁）P（B₂）
=[

C

3 4

(

1

2

)3(

1

2

)+

C

4 4

(

1

2

)4]×

2

3

×

2

3

=

5

36

．
（Ⅱ）某名考生此次考試所得分數X的可能取值為0，10，20，30，40，50，60，
P（X=0）=

C

0 4

(

1

2

)4=

1

16

，
P（X=10）=

C

1 4

(

1

2

)(

1

2

)3=

1

4

，
P（X=20）=

C

2 4

(

1

2

)2(

1

2

)2=

3

8

，
P（X=30）=

C

3 4

(

1

2

)3(

1

2

)P(

.

B1

)=

1

4

×

1

3

=

1

12

，
P（X=40）=

C

4 4

(

1

2

)4P（

.

B1

）+

C

3 4

(

1

2

)3(

1

2

)P(B1)P(

.

B2

)
=

1

16

×

1

3

+

1

4

×

2

3

×

1

3

=

11

144

，
P（X=50）=

C

4 4

(

1

2

)4P(B1)P(

.

B2

)+

C

3 4

(

1

2

)3(

1

2

)P(B1)P(B2)
=

1

16

×

2

3

×

1

3

+

1

4

×

2

3

×

2

3

=

1

8

，
P（X=60）=

C

4 4

(

1

2

)4P(B1)P(B2)=

1

16

×

2

3

×

2

3

=

1

36

，
∴某名考生此次考試所得分數X的分布列為：

X	0	10	20	30	40	50	60
P	1 16	1 4	3 8	1 12	11 144	1 8	1 36

數學期望EX=0×

1

16

+10×

1

4

+20×

3

8

+30×

1

12

+40×

11

144

+50×

1

8

+60×

1

36

=

155

9

．

點評：本題考查概率、隨機變量分布列以及數學期望等基礎知識，考查運用概率統計知識解決簡單實際問題的能力，是中檔題．