Question

若（1+x）（2-x）²⁰¹¹=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₁x²⁰¹¹+a₂₀₁₂x²⁰¹²，則a₂+a₄+…+a₂₀₁₀+a₂₀₁₂等于（　　）

• A、2-2²⁰¹¹
• B、2-2²⁰¹²
• C、1-2²⁰¹¹
• D、1-2²⁰¹²

Answer 1

考點：二項式定理的應用

專題：二項式定理

分析：根據題意，令x=0，求出a₀的值，令x=1，求出a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₁+a₂₀₁₂的值，
令x=-1，求出a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₁+a₂₀₁₂的值，從而求出a₂+a₄+…+a₂₀₁₀+a₂₀₁₂的值．

解答： 解：∵（1+x）（2-x）²⁰¹¹=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₁x²⁰¹¹+a₂₀₁₂x²⁰¹²，
∴當x=0時，1×2²⁰¹¹=a₀，即a₀=2²⁰¹¹；
當x=1時，2×（2-1）²⁰¹¹=a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₁+a₂₀₁₂，
即a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₁+a₂₀₁₂=2；
當x=-1時，0×3²⁰¹¹=a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₁+a₂₀₁₂，
即a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₁+a₂₀₁₂=0；
∴2（a₀+a₂+a₄+…+a₂₀₁₀+a₂₀₁₂=2+0=2，
∴a₂+a₄+…+a₂₀₁₀+a₂₀₁₂=1-a₀=1-2²⁰¹¹．
故選：C．

點評：本題考查了二項式定理的應用問題，解題的關鍵是利用特殊值，得出方程組，求出正確的結果來．