Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= （a＞0）在其定義域上為奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并給出證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（﹣x）=﹣f（x）得 ，解得a=±1．

由因?yàn)閍＞0，所以a=1

（2）解：函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，證明如下：

證法一：設(shè)x1，x2∈R，且x1＜x2，易知 ，

則 ．）

因?yàn)閤1＜x2，所以 ，

所以f（x1）＜f（x2），即f（x）是R上的增函數(shù)

證法二：∵ ，

∴ ，

∵f′（x）＞0恒成立，

∴f（x）是R上的增函數(shù)

【解析】（1）由f（﹣x）=﹣f（x）得 ，解得a的值；（2）函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，證法一：設(shè)x1 ， x2∈R，且x1＜x2 ， 作差比較f（x1），f（x2）的大小，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，可得f（x）是R上的增函數(shù)；
證法二：求導(dǎo)，根據(jù)′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是R上的增函數(shù)；
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對(duì)函數(shù)的奇偶性的理解，了解偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．