Question

【題目】如圖所示，游樂場中摩天輪勻速逆時針旋轉，每轉一圈需要6min，其中心距離地面40.5m，摩天輪的半徑為40m，已知摩天輪上點P的起始位置在最低點處，在時刻t（min）時點P距離地面的高度為f（t）=Asin（wt+φ）+h（A＞0，w＞0，﹣π＜φ＜0，t≥0）．
（1）求f（t）的單調區間；
（2）求證：f（t）+f（t+2）+f（t+4）是定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得A=40， =6，∴ω= ，φ=﹣ ，h=40.5，

故f（t）=40sin（ t﹣ ）+40.5=40.5﹣40cos t，

令2kπ≤ t≤2kπ+π，求得6k≤t≤6k+3，可得函數的增區間為[6k，6k+3]，k∈Z；

令2kπ+π≤ t≤2kπ+2π，求得6k+3≤t≤6k+6，可得函數的減區間為[6k+3，6k+6]，k∈Z

（2）解：證明：∵f（t）=40.5﹣40cos t，

∴f（t）+f（t+2）+f（t+4）=121.5﹣40[cos t+cos（ t+ ）+cos（ t+ ）]．

又 cos t+cos（ t+ ）﹣cos（ t+ ）=cos t﹣cos（ t﹣ ）﹣cos（ t+ ）

=cos t﹣cos t﹣ sin t+ sin t=0，

∴f（t）+f（t+2）+f（t+4）=121.5﹣40×0=121.5，顯然為定值，

故要證得結論成立

【解析】（1）利用正弦函數的圖象和性質，求得f（t）的解析式，再利用余弦函數的單調性求得f（t）的單調區間．（2）利用誘導公式、兩角和差的三角公式化簡 f（t）+f（t+2）+f（t+4），可得結論．