Question

已知點P(-3，0)，點R在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線RQ上，且=0，.

(Ⅰ)當R在y軸上移動時，求點M的軌跡C；

(Ⅱ)若曲線C的準線交x軸于點N，過N的直線交曲線C于A、B兩點，又AB的中垂線交x軸于點C，試問△ABE能否為正三角形?若能，求出x₀的值；若不能，說明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)設點M的坐標為(x,y),

則由得,R(0,). 

又由=0,得(3,)·(x,)=0, 

即y²=4x. 

(Ⅱ)由(Ⅰ)知點N(-1,0),設AB：y=k(x+1).

由,得k²x²+2(k²-2)x+k²=0.

由△＞0得k²＜1,且k=0. 

又AB的中點F(),

AB的中垂線方程為y, 

令y=0得x₀=,所以x₀＞3. 

若△ABE為正三角形,則E到AB的距離等于|AB|,

|EF|=k=±. 

此時x₀=＞3.